Глава 1 · Часть II. Физический уровень

Сигнал
и его спектр

Нажав Enter, вы отправляете не «единицу» и не «букву», а изменение физической величины. Спустимся на самый нижний этаж, где живёт физика передачи — с самых основ.

Введение

Сеть начинается с колебания

К адресату уходит не буква, а изменение напряжения, тока, света или радиоволны.

Эта глава — про него: что такое сигнал, как его описывают во времени и по частотам, что делает с ним линия и где граница, за которой данные перестают доходить.

В итоге вы сможете

Цель главы

Понимать, что такое сигнал и чем он отличается от сообщения.
Читать сигнал в двух видах: во времени и по частотам (спектр).
Объяснять, что делает с сигналом линия: полоса, затухание, шум.
Считать предел скорости — Найквист и Шеннон.

1.1 · Цепочка телефона

Носитель меняется — форма сохраняется

Голос — это колебания давления воздуха. Микрофон превращает их в колебания напряжения; провод доносит; динамик делает обратное — и в ухо снова бьёт воздух.

На каждом шаге меняется носитель, но сохраняется форма колебания — в ней и закодирован смысл. То, что переносит смысл, и называют сигналом.

1.1 · Два разных понятия

Сообщение ≠ сигнал

Сообщение

то, что хотим передать: слово, число, бит.

Сигнал

физический процесс, который его несёт: голос, морзянка, свет фонаря, импульсы в кабеле.

ГлавноеОдно сообщение можно отправить разными сигналами. Сеть — конвейер: сообщение → сигнал → доставка → восстановление сообщения.

1.1 · Запись сигнала

Сигнал — это функция времени

s(t)

s(t) — значение физической величины в каждый момент времени t (вольты, амперы, ватты).

ЗапомнитьЗнать s в одной точке бесполезно — смысл в том, как функция меняется во времени.

1.1 · Информация = непредсказуемость

Данные живут в изменениях

Информацию несёт только то изменение, которое приёмник не мог предсказать.

Ровная синусоида с неизменными A, f, φ меняется — но предсказуемо, и нового приёмник не узнаёт.

По горизонтали — время t (секунды). По вертикали — значение сигнала s(t). Слева предсказуемый тон (0 бит), справа — непредсказуемые перепады (несут данные).

1.1 · Практический вывод

Ровный тон не несёт ничего

НамертвоЕсли по линии бежит идеально ровный тон или постоянное напряжение — скорость данных равна нулю, сколько мощности ни вложи.

Данные живут в изменениях, а не в самом факте наличия сигнала.

1.2 · Два портрета одного сигнала

Осциллограмма — взгляд во времени

Самый привычный взгляд: по горизонтальной оси — время, по вертикальной — мгновенное значение. Так сигнал «видит» вольтметр.

Но у того же сигнала есть второй, не менее точный портрет — частотный. Он и объясняет, почему линия одни сигналы пропускает чисто, а другие портит.

1.2 · Простейшее колебание

Гармоника — атом сигнала

s(t) = A·sin(2πf·t + φ)

A — амплитуда (вольты), f — частота (Гц), φ — фаза (рад). Три числа задают колебание полностью. Покрути ручки.

A 0.7 f 2 φ 0

По горизонтали — время t (с). По вертикали — значение s(t) (В).

1.2 · Связь f и T

Частота и период

f = число колебаний в секунду [Гц]

T = 1/f — длина одного колебания [с]

ω = 2πf — круговая частота [рад/с]

Больше f — теснее волны, короче период. Это та же величина, записанная в разных единицах.

1.2 · Линейная линия

Синусоида проходит линию не меняя формы

Линия в первом приближении линейна: синусоида на входе даёт синусоиду той же частоты на выходе — меняются лишь амплитуда (ослабла) и фаза (задержалась).

Прямоугольник же на выходе прямоугольником не останется — фронты «оплывут». Поэтому любой сигнал удобно разложить на синусоиды, провести каждую через линию и сложить.

1.2 · Рецепт сигнала

Спектр — рецепт из частот

Разложение сигнала на синусоиды называют спектром. Это полный список частот, из которых он сложен, с указанием амплитуды и фазы каждой.

АналогияАккорд — это смесь чистых нот. Ухо (и анализатор спектра) разбирает аккорд обратно на ноты: какие частоты есть и насколько громко звучит каждая.

1.2 · Как сигнал → спектр

Ряд Фурье

Любой периодический сигнал с периодом T (частотой f₀ = 1/T) раскладывается в сумму гармоник, кратных основной частоте:

s(t) = a₀/2 + Σ (aₙ·cos 2πn f₀t + bₙ·sin 2πn f₀t)

Коэффициенты aₙ, bₙ — это «сколько» каждой гармоники содержится в сигнале.

1.2 · Меандр = поток бит

Прямоугольник из нечётных гармоник

s(t) = 4A/π·(sin ω₀t + ⅓sin 3ω₀t + ⅕sin 5ω₀t + …)

Выживают только нечётные гармоники с амплитудами 1, ⅓, ⅕, ⅐… Резкий фронт оплачивается высокими частотами.

гармоник 1

По горизонтали — время t. По вертикали — значение s(t). Пунктир — идеальный меандр, сплошная — сумма.

1.2 · Рябь на полках

Явление Гиббса

Будь гармоник бесконечно много — на месте перепада был бы идеально вертикальный скачок. Но сумма всегда конечна, и у края вылезает выброс с рябью.

Ломает интуициюВысота выброса не уменьшается, сколько гармоник ни добавляй — он лишь сужается, оставаясь ≈ 9 % выше полки. Конечная сумма синусоид и мгновенный скачок несовместимы.

1.2 · Базовый алфавит

Сигнал → спектр: галерея

По горизонтали везде — время t, по вертикали — значение s(t). Постоянный (уровень U) · синусоида · ступенька · импульс (длительность τ) · последовательность (период T).

1.2 · Итог раздела

Ширина спектра

Ширина спектра — диапазон частот, в котором сосредоточена почти вся энергия сигнала.

У синусоиды — нулевая (одна линия).
У меандра формально бесконечна, но реально хватает гармоник до 7–9-й.
Именно её нужно «уложить» в полосу пропускания канала (раздел 1.6).

1.3 · Третий взгляд

Синусоида — тень вращающегося вектора

Представьте стрелку длины A, вращающуюся против часовой стрелки со скоростью ω. Её тень на вертикальной оси движется ровно как A·sin(ωt + φ).

Длина стрелки — это амплитуда, скорость вращения — частота, стартовый угол — фаза. Такой вектор называют фазором.

Слева — вращающийся вектор. Справа — его тень: по горизонтали время, по вертикали значение синусоиды.

1.3 · Формула Эйлера

Вращение — это одно комплексное число

A·e^j(ωt+φ) = A·cos(ωt+φ) + j·A·sin(ωt+φ)

Действительная часть — косинусная «тень», мнимая — синусная. В технике пишут j (а не i), чтобы не путать с током.

1.3 · Вся информация — в одном числе

Комплексная амплитуда

Ȧ = A·e^jφ

Амплитуда A и фаза φ упакованы в одно неподвижное комплексное число. Множитель e^jωt лишь равномерно крутит его.

ВыгодаСложить колебания одной частоты = сложить векторы (а не возиться с тригонометрией). Действие линии = умножение на одно число: растянуть длину и довернуть угол.

1.3 · Откуда «−f» на спектрах

Два встречных вектора дают косинус

cos ωt = ½·(e^jωt + e^−jωt)

Один вектор крутится против часовой — это «частота +f», второй по часовой — «частота −f». Их мнимые части гасятся, остаётся чистый косинус.

Смысл «−f»Это не мистика: линия на −f — второй вектор пары, крутящийся в обратную сторону. Пока сигнал действительный, левая и правая половины спектра зеркальны.

1.3 · Намертво

Главное из раздела

Синусоида — это тень вращающегося вектора.
Вектор — это e^jωt.
Модуляторы, фильтры, приёмники на языке фазоров = умножение и сложение векторов.

1.4 · Словарь сигналов

Непрерывный и дискретный

Аналоговый

непрерывен и по времени, и по уровню — живой голос, ток с микрофона.

Цифровой

конечный набор уровней (например, два: 0 и 1).

Переход А → Цдве операции: дискретизация по времени (берём отсчёты) и квантование по уровню (округляем до ближайшего разрешённого).

1.4 · По предсказуемости

Детерминированный или случайный

Детерминированный — задан формулой (синусоида). Случайный — значение в будущем неизвестно, описывается статистикой.

Связь с 1.1Полезный сигнал обязан содержать случайную, непредсказуемую составляющую — иначе не несёт данных. А шум — случайный сигнал, который мы передавать не хотели.

1.4 · Базовый алфавит

Пять форм, из которых всё собрано

Постоянный — линия уровня U; данных не несёт, в спектре линия на частоте 0.
Синусоидальный — будущая несущая для модуляции.
Ступенчатый — однократное «включили»; спектр широк из-за резкого фронта.
Импульсный — прямоугольник с амплитудой A и длительностью τ.
Последовательность импульсов — период T, тактовая частота f = 1/T.

1.4 · Как измеряют импульс

Три числа задают импульс

Амплитуда A — от базового уровня (часто нуля) до вершины.
Длительность τ — по уровню половины амплитуды (0,5A): снимает спор, где «начался» фронт.
Период T — между одинаковыми точками соседних импульсов; скважность T/τ.

ЗачемКрутизна фронта определяет, какие высокие гармоники придётся пропустить линии (отсюда требования к фронтам в Ethernet).

1.5 · От ряда к преобразованию Фурье

Один импульс → сплошной спектр

У периодического сигнала спектр — отдельные линии. Но одиночный импульс не повторяется, и его спектр устроен иначе: это уже не линии, а сплошная полоса частот.

Переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье — и у него есть следствие, которое стоит всей главы.

1.5 · Функция sinc

Короче импульс — шире спектр

S(f) = A·τ·sinc(fτ)

Первый ноль спектра — на частоте 1/τ. Главный лепесток несёт почти всю энергию.

τ · ΔF ≈ 1

τ 0.55

Слева импульс: по гориз. — время t, по верт. — s(t). Справа спектр: по гориз. — частота f, по верт. — |S(f)|, первый ноль на 1/τ.

1.5 · Практический вывод

Скорость не бывает бесплатной

Хотите передавать быстрее (короче импульсы, чаще такты) — занимаете более широкую полосу. Удвоили скорость потока — удвоили полосу.

Закон неопределённостиτ·ΔF ≈ 1 не обойти кодированием — это свойство самого преобразования Фурье. Коротким во времени событиям всегда соответствует широкий спектр.

1.6 · Реальная среда

Линия портит сигнал тремя способами

Ослабляет его (затухание).
Пропускает разные частоты по-разному (полоса, АЧХ).
Добавляет посторонние составляющие (шум — следующий раздел).

1.6 · Громкость каждой частоты

АЧХ — амплитудно-частотная характеристика

АЧХ = модуль |H(f)|: во сколько раз линия ослабляет (или усиливает) синусоиду каждой частоты. Это «громкость» каждой частоты на выходе.

У идеальной линииАЧХ — горизонтальная прямая: все частоты ослаблены одинаково, форма не плывёт. Перекосилась — разные гармоники ослабли по-разному, форма исказилась.

1.6 · Задержка каждой частоты

ФЧХ — фазочастотная характеристика

ФЧХ = аргумент arg H(f): на какой угол линия сдвигает каждую частоту, то есть на сколько её задерживает.

Условие неискажающей передачировная АЧХ и линейная ФЧХ в пределах спектра сигнала. Тогда линия лишь ослабляет и задерживает сигнал целиком, не трогая форму.

1.6 · Какую «дверь» видит спектр

Полоса — это ширина двери для частот

Диапазон частот, который линия пропускает с малым ослаблением, — полоса пропускания ΔF. Спектр сигнала должен в неё поместиться.

Шире спектра — высокие гармоники срежутся, фронты оплывут, соседние импульсы «затекут» друг в друга.

ширина спектра 0.5

По горизонтали — частота f, по вертикали — передача |H|. Окно −3 дБ (АЧХ) и спектр сигнала: что вне окна — гасится.

1.6 · Точка половинной мощности

Границу проводят по −3 дБ

Границу полосы проводят там, где мощность на выходе падает ровно вдвое от максимума.

10·lg(½) = −3 дБ; по напряжению 20·lg(0,707) = −3 дБ

Поэтому уровень −3 дБ зовут точкой половинной мощности (по напряжению — падение до 0,707).

1.6 · Откуда берётся −3 дБ

RC-фильтр: где реактивность = R

|H(f)| = 1 / √(1 + (ωRC)²)

На частоте, где ωRC = 1 (сопротивление конденсатора сравнялось с R), знаменатель = √2, и |H| = 0,707 = −3 дБ; фаза довёрнута на 45°. Это и есть частота среза — линия «переломилась» из пропускания в подавление.

1.6 · Потеря мощности

Затухание идёт по экспоненте

Каждый одинаковый отрезок кабеля отбирает один и тот же процент мощности. Поэтому мощность падает не линейно, а по экспоненте:

P(x) = P₀·e^−2βx

Экспонента неудобна для счёта — но логарифм выпрямляет её в прямую.

1.6 · Зачем дБ на километр

Логарифм превращает в сложение

L = α·ℓ [дБ]

Погонное затухание α [дБ/км] показывает, сколько децибел теряется на каждом километре. Полные потери — просто произведение, а не громоздкая экспонента.

Нюансα растёт с частотой (скин-эффект в меди) — высокие гармоники гаснут сильнее, и полоса сужается с длиной.

1.6 · Предел дальности

Сигнал доходит, пока выше порога

Уровень сигнала падает вдоль линии линейно (в дБ). Связь возможна, пока он выше порога чувствительности приёмника.

Точка их пересечения задаёт предельную дальность L_max.

наклон 0.2 дБ/км

По горизонтали — расстояние x (км), по вертикали — уровень L (дБм). Пунктир — порог чувствительности.

1.6 · Логарифмическая мера

Децибел — это отношение

L = 10·lg(P/P₀) [дБ] — по мощности

L = 20·lg(U/U₀) [дБ] — по напряжению (P∼U²)

Логарифм сжимает огромный диапазон и превращает перемножение усилений/затуханий в сложение.

1.6 · Шпаргалка для устного счёта

Опорные точки наизусть

+3 дБ — мощность вдвое; −3 дБ — вдвое меньше.
+10 дБ — в 10 раз; −20 дБ — в 100 раз по мощности.
+6 дБ — вдвое по напряжению; +20 дБ — ×10 по напряжению.

1.6 · С опорой

дБм, дБВт, дБВ

дБм — относительно 1 мВт: 0 дБм = 1 мВт, 30 дБм = 1 Вт. Уровни в трактах задают обычно в дБм.
дБВт — относительно 1 Вт.
дБВ — относительно 1 В (для напряжений, с множителем 20).

ПравилоДецибелы не делят и не умножают — их складывают и вычитают: усиление каскада = сумма усилений звеньев.

Пример · одни сложения

Расчёт трассы

Дано

Передатчик 0 дБм
Кабель 60 км, 0,2 дБ/км
Порог приёмника −20 дБм

Потери = 60·0,2 = 12 дБ

На входе = 0 − 12 = −12 дБм

Запас = −12 − (−20) = 8 дБ → связь есть

1.7 · Шум есть всегда

Усилитель поднимает и шум

Ослабленный сигнал нетрудно усилить. Но усилитель поднимет вместе с сигналом и всё, что прилипло по дороге, — шум: случайные колебания, которые мы не передавали.

Вопрос лишь в том, насколько шум слабее полезного сигнала.

1.7 · Белый шум

Шум стирает различия

Тепловой (белый) шум — хаотичное движение электронов; его мощность размазана по всем частотам поровну.

P_ш = k·T·ΔF [Вт]

Шум прямо пропорционален полосе: шире полоса — больше шума. Поэтому приёмник делают узкополосным.

шум 0.25

По горизонтали — время t, по вертикали — уровень U. Пунктир — идеальные уровни, сплошная — сигнал с шумом.

1.7 · Центральная величина

Отношение сигнал/шум (ОСШ)

ОСШ = 10·lg(P_с/P_ш) [дБ]

Важна не громкость сигнала сама по себе, а насколько он громче гула — как разговор в шумном кафе. Именно ОСШ определяет, сколько данных можно протолкнуть.

1.7 · Не только шум

Помехи и паразитная модуляция

Помехи

посторонние сигналы: наводки от соседней пары, импульсы оборудования, отражения, чужие передатчики. У них есть структура — борются адресно (экран, фильтры).

Паразитная модуляция

дрожание частоты генератора, джиттер, пульсации питания. Искажают именно тот параметр, по которому считывают данные.

1.8 · Главный вопрос главы

Сколько бит в секунду можно?

Есть канал с полосой ΔF и уровнем шума. Сколько бит/с через него передать — и какой ценой?

Отвечают две формулы. Порядок чтения: сначала Найквист, потом Шеннон.

1.8 · Больше уровней — больше бит

Найквист

R = 2·ΔF·log₂M [бит/с]

Полоса позволяет менять сигнал не чаще 2·ΔF раз/с. Если различимо M уровней, символ несёт log₂M бит. Без шума M ничем не ограничено — но тут стучится шум.

уровней M 2

По горизонтали — время t, по вертикали — уровень U. 2 уровня = 1 бит/символ, 4 уровня = 2 бита…

1.8 · Непреодолимая граница

Шеннон

C = ΔF·log₂(1 + P_с/P_ш)

Это потолок: выше него без ошибок передать нельзя, как ни кодируй. Полоса входит линейно, ОСШ — под логарифмом.

По горизонтали — ОСШ (раз), по вертикали — спектральная эффективность C/ΔF. Отдача убывает: каждый шаг даёт всё меньше.

1.8 · Приговор грубой силе

Наращивать мощность — тупик

При ОСШ ≈ 100 удвоение мощности поднимает потолок скорости лишь примерно на 15 %; каждый следующий децибел добавляет всё меньше бит на герц.

ВыводСовременные системы воюют не за мощность, а за полосу, за число уровней и за умное кодирование.

1.8 · Вторая половина дела

Достоверность и помехоустойчивость

BER — вероятность искажения одного бита. BER = 10⁻⁶ — ошибка раз на миллион. Медь без защиты: 10⁻⁴…10⁻⁶; оптика: 10⁻⁹ и лучше.

Вечный торгразнести уровни реже → выше надёжность, ниже скорость. Добавить избыточность (проверочные биты) → выше достоверность ценой части скорости.

1.9 · От сигнала к модуляции

Главное противоречие

Сообщение хочет широкую полосу (короче импульсы — быстрее), а канал даёт лишь узкую, зашумлённую и привязанную к своему диапазону.

Нужен механизм, который уложит спектр сообщения в полосу канала и перенесёт его в нужный диапазон. Этот механизм — модуляция (следующая глава).

Шпаргалка главы

Сквозные обозначения

Знак	Смысл	Ед.
s(t)	мгновенное значение сигнала	В, А, Вт
A	амплитуда	В
f, ω=2πf	частота, круговая частота	Гц, рад/с
φ	начальная фаза	рад
Ȧ=A·e^jφ	комплексная амплитуда	В
T, τ	период, длительность импульса	с

Знак	Смысл	Ед.
ΔF	полоса / ширина спектра	Гц
L	затухание	дБ
P_с,P_ш	мощность сигнала, шума	Вт
R, C	скорость (Найквист), ёмкость (Шеннон)	бит/с
M	число уровней символа	—
BER	интенсивность ошибок	—

Глава 1 пройдена

Спасибо за внимание

Ананко Софья Михайловна · Качур Анна Юрьевна